已知x^3+x^2+x=0,求1+x+x^2+x^3+... ...+x^2000

1+x+x^2+x^3+... ...+x^2000
=(1+x+x^2)+x^3(1+x+x^2)+...+x^1998(1+x+x^2)
=(1+x^3+x^6+...+x^1998)(1+x+x^2)

x^3+x^2+x=x(x^2+x+1)=0
x=0,或，x^2+x+1=0

x^2+x+1=0时，
1+x+x^2+x^3+... ...+x^2000=(1+x^3+...+x^1998)(1+x+x^2)=0

x=0时，1+x+x^2+x^3+... ...+x^2000=1

x^3+x^2+x=0,
x(x^2+x+1)=0
x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4>0恒成立
所以只能是x=0

1+x+x^2+x^3+... ...+x^2000
=1+0+0+0+。。。+0
=1

1

这是一个等比数列公比为x得x(1-x^3)/(1-x)=0 x=0 1+x+x^2...x^2000=1